Numerische Intergration

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Inhaltsverzeichnis

1 Newton Cotes Formel 1. Ordnung
2 Newton Cotes Formel 2. Ordnung
3 Zusammengesetzte Trapezregel
4 Zusammengesetzte Simpsonregel
5 Romberg Integration

[bearbeiten] Newton Cotes Formel 1. Ordnung

1. Bestimme die Lagrange Polynome (Interpolation) $L i, i = 0,1$

2. $\sum_{i=0}^1(f(x_i)\int_{a}^{b}L_i(x)dx)$

[bearbeiten] Newton Cotes Formel 2. Ordnung

1. Bestimme die Lagrange Polynome (Interpolation) $L i, i = 0,1,2$

2. $\sum_{i=0}^2(f(x_i)\int_{a}^{b}L_i(x)dx)$

[bearbeiten] Zusammengesetzte Trapezregel

$Q_{1}(f) = \frac{h}{2}(f(x_{0})+2\sum_{k=1}^{n-1}f(x_{k})+f(x_n))$ , $h = \frac{b-a}{n}$

[bearbeiten] Zusammengesetzte Simpsonregel

$Q_{2}(f) = \frac{h}{6}\sum_{k=0}^{n-1}((f(x_k)) + 4 \cdot f(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}) + f(x_{k+1}))$

[bearbeiten] Romberg Integration

$I(f(x)) = \int_{a}^{b}f(x)$

Die Romberg Integration benutzt die Zusammengesetzte Trapezregel und extrapoliert dann Mithilfe der Richardson Extrapolation.

Verfahren:

1. Berechne m Abschnitte mit der zusammengesetzen Trapezregel

2. Extrapoliere mit der Richardson Extrapolation:

$T 00$
	$\searrow$
		$T 11$
	$\nearrow$		$\searrow$
$T 10$				$T 22$
	$\searrow$		$\nearrow$		$\searrow$
		$T 21$				$T 33$
	$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$		$\ddots$
$T 20$				$T 32$
	$\searrow$		$\nearrow$
		$T 31$
	$\nearrow$
$T 30$
$\vdots$		$\vdots$		$\vdots$		$\vdots$
$T n - 1,0$
	$\searrow$
		$T m 1$		$T m 2$		$T m 3$	$\cdots$	$T m m$
	$\nearrow$
$T n,0$

Formel:

$T_{i,j} = \frac{4^{j}T_{i,j-1}-T_{i-1,j-1}}{4^{j-1}}$ , $j = 1,..., m$ ; $i = j,..., m$ und $1\le j\le i\le m$

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