Interpolation

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Inhaltsverzeichnis

[bearbeiten] Lagrange

L_i(x) = \prod_{k=0, k \neq i}^{n} \frac{(x-x_k)}{(x_i-x_k)}

P_n^a(x) = \sum_{i=0}^{n}f_kL_k(x)

Vorteil: Einfach und intuitiv anzuwenden

Nachteil: Kommt eine neuen Stützstelle hinzu muss Alles neu berechnet werdem

[bearbeiten] Newton

N0(x) = 1 N_i(x) = \prod_{k=0}^{i-1}(x-x_k), i = 1,2,...,n

P_n^b(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k N_k(x)

Vorteil: Eine neue Stützstelle kann schnell hinzugefügt werden

[bearbeiten] Aitken

Pi,0(x) = fi(xi)

P_{i,k}(x)=\frac{x_{i}-x}{x_{i}-x_{i-k}} P_{i-1,k-1}(x)+\frac{x-x_{i-k}}{x_{i}-x_{i-k}}P_{i,k-1}

Bsp.:

Gegeben: (0;0),(1;2),(2;4)

P_{00}^* = 0; P_{10}^* = 2; P_{20}^* = 4

P_{11}^* = \frac{(x_1-x)}{x_1-x_0}P_{00}^*(x)+\frac{(x-x_0)}{x_{1}-x_0}P_{10}^*(x) = 2x P_{21}^* = \frac{x_2-x}{x_2-x_1} P_{10}^*(x) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} P_{20}^*(x) = 2x


P_{22}^* = \frac{x_2-x}{x_2-x_0}P_{11}^*(x)+\frac{x-x_0}{x_2-x_0}P_{21}^*(x) = 2x = P_{2}(x)

[bearbeiten] Fourier Reihe

f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t))

Dabei sind

\omega=\frac{2\pi}{T},
\frac{a_0}{2} der Gleichanteil (wechsellose Größe oder auch Anteil der Frequenz f0 = 0)
a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot \cos(n\omega t)\, \mathrm{d}t und b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cdot \sin(n\omega t)\, \mathrm{d}t
Von „http://studiwiki.informatik.uni-stuttgart.de/Interpolation“
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