Determinante

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Inhaltsverzeichnis

[bearbeiten] Allgemeines

Determinanten kann man nur von n \times n-Matrizen (quadratische Matrizen) berechnen.

[bearbeiten] Determinante einer (2,2) Matrix

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\det(A)= a \cdot d - b \cdot c

[bearbeiten] Determinante für obere/untere Dreiecksmatrizen

In diesem Fall einfach alle Elemente der Diagonalen miteinander multiplizieren:


A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\ 0 & b_2 & c_2 & d_2\\ 0 & 0 & c_3 & d_3\\ 0 & 0 & 0 & d_4\\ \end{pmatrix}

\det(A) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\ 0 & b_2 & c_2 & d_2\\ 0 & 0 & c_3 & d_3\\ 0 & 0 & 0 & d_4\\ \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 \cdot c_3 \cdot d_4

[bearbeiten] Regel von Sarrus

Gilt nur für 3 \times 3-Matrizen


A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}

det(A)= (a_1 \cdot b_2 \cdot c_3) + (a_2 \cdot b_3 \cdot c_1) + (a_3 \cdot b_1 \cdot c_2) - (c_1 \cdot b_2 \cdot a_3) - (c_2 \cdot b_3 \cdot a_1) - (c_3 \cdot b_1 \cdot a_2)

[bearbeiten] LaPlace-Verfahren, Entwicklungssatz von LaPlace

gilt für alle n \times n-Matrizen

Hier am Beispiel einer 4 \times 4-Matrix:

A = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}

Laplace Verfahren

man nimmt sich eine beliebige Spalte (oder eine Zeile) z.B. die erste Spalte

\begin{pmatrix} \color{red}{a_1} & b_1 & c_1 & d_1 \\ \color{red}{a_2} & b_2 & c_2 & d_2 \\ \color{red}{a_3} & b_3 & c_3 & d_3 \\ \color{red}{a_4} & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}

Dann für jedes Element der Spalte, die gegenüberliegende Matrix

\begin{pmatrix} \color{red}{a_1} & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & \color{red}{b_2} & \color{red}{c_2} & \color{red}{d_2} \\ a_3 & \color{red}{b_3} & \color{red}{c_3} & \color{red}{d_3} \\ a_4 & \color{red}{b_4} & \color{red}{c_4} & \color{red}{d_4} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a_1 & \color{red}{b_1} & \color{red}{c_1} & \color{red}{d_1} \\ \color{red}{a_2} & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & \color{red}{b_3} & \color{red}{c_3} & \color{red}{d_3} \\ a_4 & \color{red}{b_4} & \color{red}{c_4} & \color{red}{d_4} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a_1 & \color{red}{b_1} & \color{red}{c_1} & \color{red}{d_1} \\ a_2 & \color{red}{b_2} & \color{red}{c_2} & \color{red}{d_2} \\ \color{red}{a_3} & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & \color{red}{b_4} & \color{red}{c_4} & \color{red}{d_4} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a_1 & \color{red}{b_1} & \color{red}{c_1} & \color{red}{d_1} \\ a_2 & \color{red}{b_2} & \color{red}{c_2} & \color{red}{d_2} \\ a_3 & \color{red}{b_3} & \color{red}{c_3} & \color{red}{d_3} \\ \color{red}{a_4} & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}

Das Ganze wird dann wie folgt mit diesen Vorzeichen verbunden (es fängt immer links oben mit einem Plus an)

\begin{pmatrix} \color{red}{+} & - & + & - \\ \color{red}{-} & + & - & + \\ \color{red}{+} & - & + & - \\ \color{red}{-} & + & - & + \end{pmatrix}

Das sieht dann so aus:

det(A)= \color{red}{+} a_1 \cdot \begin{vmatrix} b_2 & c_2 & d_2 \\ b_3 & c_3 & d_3 \\ b_4 & c_4 & d_4 \end{vmatrix} \color{red}{-} a_2 \cdot \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & d_1 \\ b_3 & c_3 & d_3 \\ b_4 & c_4 & d_4 \end{vmatrix} \color{red}{+} a_3 \cdot \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & d_1 \\ b_2 & c_2 & d_2 \\ b_4 & c_4 & d_4 \end{vmatrix} \color{red}{-} a_4 \cdot \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & d_1 \\ b_2 & c_2 & d_2 \\ b_3 & c_3 & d_3 \end{vmatrix}


Die Determinante der 3 \times 3-Matrizen kann dann mit der Sarrus Regel bestimmt werden oder wieder mit Laplace.

[bearbeiten] Mit anderen Worten:

Man nimmt eine n \times n-Matrix und wählt eine Spalte x oder eine Zeile y aus (im obigen Beispiel ist das die erste Spalte). Dann nimmt man ein Element dieser Spalte bzw Zeile ( aix bzw. ayi ), "streicht" die zugehörige Spalte und Zeile komplett weg und erhält eine (n-1) \times (n-1)-Matrix. Dann multipliziert man die Determinante dieser Matrix mit dem ausgewählten Element und mit ( − 1)i − 1. Das wiederholt man mit jedem Element der ausgewählten Spalte/Zeile (sog. entwickeln nach der Spalte/Zeile, daher auch Entwicklungssatz von LaPlace).

Die Summe dieser Ausdrücke ist dann die gesuchte Determinante.

Der Ausdruck der Form -1^{(i-1)} \cdot a_{ij} \cdot \det(A') heißt übrigens algebraisches Komplement des Elements aij, wobei A' die gegenüberliegende Matrix ist bzw. die Matrix, die aus der Originalmatrix durch wegstreichen der Zeile i und der Spalte j erhalten wurde.

[bearbeiten] Tipp

Es ist immer zweckmäßig, nach der Zeile oder Spalte, in denen die meisten Einträge gleich 0 ind zu entwickeln. Das algebraische Komplement von 0 ist stets 0, dementsprechend muss man dann weniger Teildeterminanten berechnen.

siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante

Von „http://studiwiki.informatik.uni-stuttgart.de/Determinante“
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